☛ Conséquences de la stricte croissance de la fonction ln

Propriété

Soit  \(x\) et  \(y\) deux réels strictement positifs, alors :

• \(\ln(x) = \ln(y) \Leftrightarrow x = y\)
  
• \(\ln(x) \geqslant \ln(y) \Leftrightarrow x \geqslant y\)
  
• \(\ln(x) > \ln(y) \Leftrightarrow x > y\)
  

Énoncé

Étudier les variations de la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=\text{e}^{2x}-8x+1\) .

Solution

\(f\)  est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et, pour tou t réel  \(x\) , on a \(\ f'(x)=2\text{e}^{2x}-8\) .
\(2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow \text{e}^{2x} \geqslant 4\\2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow \ln(\text{e}^{2x}) \geqslant \ln(4)\\2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow 2x \geqslant \ln(2^2)\\2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow 2x \geqslant 2\ln(2)\\2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant \ln(2)\\\)
On en déduit le tableau de variations suivant pour \(f\) .

Remarque

La valeur du minimum est \(f(\ln(2))=5-8\ln(2)\) .